34. El modelo MACBETH y el software M-MACBETH para el análisis multicriterio
Texto basado en:
2011, Bana e Costa C., Sanchez-Lopez R., Vansnick J. C., De Corte J. M., Introducción a MACBETH , Libro: Análisis Multicriterio para la Toma de Decisiones: Métodos y Aplicaciones. J. C. Leyva López, ed., Editorial Plaza y Valdés, México, D.F.
Por favor utilizar esta cita para hacer referencia al texto aquí presentado.
Captura de pantalla del software M-MACBETH
Durante los pasos iniciales de los estudios de doctorado, una vez definida la aplicabilidad del análisis multicriterio para la solución del problema planteado, tuve la oportunidad revisar los métodos multicriterio más importantes existentes en ese entonces y decidir cuál de ellos utilizar y por qué. Entre los estudiados, pude contar los siguientes: Electre, Promethee, AHP, Naiade, Macbeth, entre otros quizás menos relevantes. La conclusión fue que el método MACBETH presenta, a mi parecer, las mejores características para el análisis de decisiones con múltiples criterios, las cuales puedo puntualizar de la siguiente manera:
- Es absolutamente racional, dado que utiliza la lógica matemática para calcular los resultados básicos de su aplicación.
- Es metodológicamente correcto, pues trabaja sobre escalas de intervalos, haciendo diferencia clara entre información de tipo ordinal y cardinal. Además, da cuenta del "error crítico más común", que se refiere a la incorrecta interpretación de las ponderaciones de los criterios.
- Es simple de explicar a personas con poco manejo de conceptos matemáticos. Es intuitivo.
- Ofrece herramientas informáticas que permiten incorporar la imprecisión en los problemas, discutir sobre las escalas de evaluación y consensuar aquella que será utilizada para la evaluación.
- Ofrece herramientas para analizar la incertidumbre y explorar soluciones robustas; o bien analizar la sensibilidad de los parámetros del modelo.
- Existe un software (M-MACBETH) que permite implementar el modelo gráficamente, paso a paso.
Dicho esto, me voy a basar en un texto publicado en 2011 juntamente con los creadores del método, los Profesores Carlos Antonio Bana e Costa, Jean Claude Vansnick y Jean Marie De Corte, para explicar en un lenguaje menos técnico y más coloquial, cómo funciona y dónde acudir para descargar y utilizar el software.
Software M-MACBETH y manuales pueden ser obtenidos en el siguiente sitio:
http://m-macbeth.com/
En los siguientes sitios se puede consultar ejemplos de uso:
http://analisismulticriterio.blogspot.com/2011/09/multicriterio-y-derecho-penal-militar.html
http://analisismulticriterio.blogspot.com/2011/07/multicriterio-y-evaluacion-de.html
http://analisismulticriterio.blogspot.com/2011/07/estudio-original-caso-de-estudio.html
http://analisismulticriterio.blogspot.com/2011/07/multicriterio-y-eficiencia-energetica.html
¿Qué es el método MACBETH para el análisis de decisiones?
Por su parte, el software M-MACBETH es el Sistema de Apoyo a la Decisión o “Decision Support System”, que implementa informáticamente el método MACBETH. Fue concebido para ser utilizado por un facilitador durante las diferentes etapas de aplicación de la metodología multicriterio de análisis de decisiones. Dicha metodología consiste en un proceso que combina elementos técnicos de análisis multicriterio con aspectos sociales de las así llamadas "conferencias de decisión" (Phillips y Bana e Costa, 2007). Por eso se dice que es un proceso "socio-técnico" (Figura 1).
Figura 1. Proceso general de análisis de decisiones con múltiples criterios
¿Cómo opera MACBETH?
- nula,
- muy débil,
- débil,
- moderada,
- fuerte,
- muy fuerte y
- extrema.
De ahí el origen del acrónimo MACBETH: "Measuring Attractiveness by a Category Based Evaluation TecHnique”, es decir, medición del atractivo mediante una técnica de evaluación basada en categorías.
Vamos a explicar a continuación cómo usa MACBETH dichas categorías para el cálculo de los valores de preferencia. Supongamos que tenemos dos elementos, A y B, que deseamos comparar en términos de preferencia o "atractivo".
El modelo pregunta:
- ¿cómo es la diferencia de atractivo entre A y B? En otras palabras, ¿qué tan diferentes son A y B en términos de "atractivo" o "preferencia"?
La respuesta podría ser, por ejemplo:
- la diferencia de atractivo es "muy débil", es decir, los elementos A y B son muy parecidos entre sí, en términos de preferencia (…casi me da igual uno que otro…); o
- la diferencia de atractivo es "muy fuerte", lo que querría decir que preferimos uno de ellos mucho más que el otro.
Cuando tenemos más de dos elementos a ser comparados, por ejemplo A, B, C, D y E, las comparaciones se hacen siempre de dos en dos, es decir, A y B, B y C, A y C, y así sucesivamente. En cada comparación, el evaluador evalúa la diferencia de atractivo entre dos elementos, utilizando los siete juicios cualitativos o categorías semánticas descritas líneas arriba.
De esta manera, los juicios cualitativos van siendo introducidos en una matriz de evaluación como la que se muestra líneas abajo (Figura 2), que el método denomina "Matriz MACBETH". Cada vez que introducimos un juicio en la matriz, el software verifica automáticamente que sea consistente con los otros juicios que hubiesen sido emitidos previamente.
Figura 2. Matriz MACBETH
¿Cómo verifica MACBETH la consistencia de los juicios cualitativos?
Figura 3. Escala de valor
Para que un conjunto de juicios sea consistente, debe ser posible deducir lógicamente a partir de él, puntuaciones para las opciones (es decir, los elementos que estamos comparando entre sí) de tal manera que:
(1) opciones igualmente atractivas obtengan la misma puntuación;
(2) una opción más atractiva que otra obtenga una puntuación mayor; y
(3) si la diferencia de atractivo entre dos opciones ("fuerte", por ejemplo) es mayor que la diferencia de atractivo entre otras dos opciones ("moderada", por ejemplo), las opciones obtengan puntuaciones de tal manera que la diferencia entre las puntuaciones de las dos primeras sea mayor que la diferencia entre las puntuaciones de las otras dos.
Supongamos que el evaluador emite los siguientes juicios, como se muestra en la Matriz MACBETH de la Figura 4:
- op 1 débilmente más atractiva que op 2,
- op 2 muy débilmente más atractiva que op 3,
- op 3 moderadamente más atractiva que op 4,
- op 4 débilmente más atractiva que op 5,
- op 1 muy fuertemente más atractiva que op 5,
- op 2 fuertemente más atractiva que op 5 y
- op 3 moderadamente más atractiva que op 5.
Figura 4. Matriz MACBETH
Como se puede ver en la Figura 4, los juicios con los que cuenta la matriz son consistentes. En caso existir inconsistencias, el software identifica sugerencias para su resolución. Por ejemplo, supongamos que el evaluador juzga que la diferencia de atractivo entre op 2 y op 4 es "fuerte". En ese caso, el conjunto de juicios se vuelve inconsistente, como se muestra en la Figura 5.
Figura 5. Matriz inconsistente y sugerencias para resolver el problema de inconsistencia
Esto se debe a que los juicios proporcionados por el evaluador implican, por un lado, que la diferencia de atractivo entre las puntuaciones de op 2 y op 4 es mayor que la diferencia entre las puntuaciones de op 3 y op 5; y por otro lado, que la diferencia entre las puntuaciones de op 4 y op 5 es mayor que la diferencia entre las puntuaciones de op 2 y op 3, lo cual implica a su vez una imposibilidad: que la diferencia entre las puntuaciones de op 2 y op 5 es mayor que sí misma. Es de esta manera que el modelo MACBETH utiliza la lógica matemática para deducir que el conjunto de juicios proporcionados por el evaluador es inconsistente y debe ser corregido.
Cuando el conjunto de juicios se vuelve inconsistente, M-MACBETH identifica la fuente del problema y brinda sugerencias de modificación, representadas en la Figura 5 por las flechas rojas y verdes. En el ejemplo, la consistencia se alcanza a través de cualquiera de las cuatro sugerencias mostradas en la Figura 5: aumentar en un nivel (flechas verdes) el juicio entre op 2 y op 3 o el juicio entre op 3 y op5; o disminuir un nivel (flechas rojas) el juicio entre op 2 y op 4 o el juicio entre op 4 y op 5. Los procedimientos técnicos son presentados detalladamente en (Bana e Costa et al., 2005).
Supongamos que el evaluador decide aceptar la sugerencia de bajar la categoría entre op 4 y op 5 de "débil" a "muy débil", manteniendo las demás. Con esta modificación se logra un conjunto de juicios consistente (Figura 6).
Figura 6. Conjunto completo de juicios consistentes
Una vez lograda una Matriz MACBETH consistente, podemos pasar a la siguiente etapa, que consiste en realizar en el cálculo de las puntuaciones para cada una de las opciones, es decir, la "Escala MACBEH de Base".
¿Cómo se calcula la Escala MACBETH de Base?
A partir de un conjunto de juicios cualitativos consistente (Figura 6), MACBETH busca asociar una puntuación (un "valor" de preferencia) a cada opción. Dichas puntuaciones conforman la "Escala MACBETH de Base", es decir, una escala que representa numéricamente, cuantitativamente, el conjunto de juicios cualitativos proporcionados por el evaluador. En otras palabras, el modelo MACBETH analiza lo expresado verbalmente en términos cualitativos por el evaluador y lo transforma, lo traduce, en información numérica que puede ser utilizada para el análisis de decisiones.
La formulación matemática es como sigue:
Sea A un conjunto finito de n > 2 opciones, en el que la opción "a+" es tanto o más atractiva que cualquier otra opción y la opción "a-" es tanto o menos atractiva que cualquier otra opción.
Designemos por "Ck", (con k = 0,…,6), las siete categorías MACBETH de diferencia de atractivo:
- "nula" (C0),
- "muy débil" (C1),
- "débil" (C2),
- "moderada" (C3),
- "fuerte" (C4),
- "muy fuerte" (C5) y
- "extrema" (C6);
y por (a,b) que pertenece a Ck con (k = 0,…, 6), cuando la diferencia de atractivo entre dos opciones cualesquiera a y b de A sea asignada a una única categoría Ck.
La escala MACBETH de base respectiva puede obtenerse a través del siguiente modelo de programación lineal, donde "v(a)" representa la puntuación asignada a la opción "a":
Deseamos que los juicios de una misma categoría sean tan cercanos uno de otro como sea posible. Para ello, minimizamos la suma de todas las diferencias de valor, es decir, la máxima diferencia de valor entre dos opciones.
Por lo tanto:
- Min [v(a+) – v(a-)]
Sujeto a:
- v(a-) = 0 (asignación arbitraria)
- Para todo (a,b) que pertenece a C0: v(a) – v(b) = 0
- Para todo (a,b) que pertenece a Ck con k que pertenece a {1,2,3,4,5,6}: v(a) – v(b) ≥ k
- Para todo (a,b) que pertenece a Ck y para todo (c,d) que pertenece a Ck’ con k, k’ que pertenece a {1,2,3,4,5,6} y k > k’:
- [v(a) – v(b)] – [v(c) – v(d)] ≥ k – k’.
Si este problema es no-factible, significa que el conjunto de juicios proporcionados por el evaluador es inconsistente y es necesario revisarlo.
Para el ejemplo de la Figura 6, la Escala MACBETH de Base es: v(op 1)=10, v(op 2)=7, v(op 3)=5, v(op 4)=1, v(op 5)=0.
La Figura 7 muestra la diferencia de puntuación resultante para cada juicio de diferencia de atractivo, y también la constitución numérica de las categorías. En este ejemplo la escala es única. Sin embargo, es posible encontrar otros ejemplos para los cuales existen múltiples soluciones óptimas. Para poder proponer una escala MACBETH de base que sea única, el modelo toma el promedio de las soluciones del programa lineal, como se detalla en (Bana e Costa et al., 2005).
Figura 7. Diferencias de puntuaciones y categorías numéricas respectivas.
En ocasiones, el evaluador puede no estar seguro acerca de cuál categoría semántica elegir. También se dan casos en los que la evaluación se realiza en grupo y los integrantes no pueden ponerse de acuerdo acerca de cuál categoría elegir en una determinada comparación. En tales casos, el software permite elegir varias categorías semánticas a la vez y aun así propone una Escala MACBETH de Base. Por ejemplo: la diferencia de atractivo entre op 2 y op 3 que sea entre "débil" y "moderada".
En los casos en que existe duda o desacuerdo en la emisión de los juicios, es decir, cuando la diferencia de atractivo entre a y b sea asignada a varias categorías, digamos de Ci a Cs, la comparación entre dos opciones cualesquiera a y b de A, tal que a es al menos tan atractiva como b, será denotada (a,b) pertenecen a Ci U … U Cs (i, s = 1, …, 6 con i < s).
La Escala MACBETH de Base respectiva se puede obtener a través del siguiente programa lineal, que generaliza el caso más sencillo anteriormente presentado y corresponde a las formulaciones presentadas en (Bana e Costa et al., 2003 y 2005):
- Min v(a+)
Sujeto a:
- v(a-) = 0
- Para todo (a,b) que pertenece a C0: v(a) – v(b) = 0
- Para todo (a,b) que pertenece a Ci U…U Cs con i, s que pertenecen a {1,2,3,4,5,6} y i <= s: v(a) – v(b) >= i
- Para todo (a,b) que pertenece a Ci U…U Cs y para todo (c,d) que pertenece a Ci’ U…U Cs’ con i, s, i’, s’ que pertenecen a {1,2,3,4,5,6}, i s, i’ <= s’ y i > s’: [v(a) – v(b)] – [v(c) – v(d)] ≥ i – s’.
Afinar la Escala MACBETH de Base para obtener una escala de evaluación definitiva
La Escala MACBETH de Base, como su nombre indica, es sólo una base de partida para obtener una escala de puntuación definitiva, consensuada y validada por el o los evaluadores, tal que sea una escala numérica de intervalos.
La escala sugerida por MACBETH (Figura 8) debe ser validada, procediendo a comparar gráficamente el tamaño de los intervalos entre puntuaciones, y en su caso a modificarlos. Para ello M-MACBETH muestra gráficamente, el intervalo dentro del cual la puntuación puede ser modificada sin contradecir los juicios proporcionados previamente por el evaluador.
Por ejemplo, en la Figura 8 se muestra que la puntuación de "op 3" puede ser modificada entre 5,99 y 4,01 sin contradecir los juicios cualitativos proporcionados por el evaluador en la Matriz MACBETH.
Por ejemplo, en la Figura 8 se muestra que la puntuación de "op 3" puede ser modificada entre 5,99 y 4,01 sin contradecir los juicios cualitativos proporcionados por el evaluador en la Matriz MACBETH.
Figura 8. Herramienta gráfica de validación de las puntuaciones de la Escala MACBETH de Base
Para mayores detalles acerca de la formulación matemática y el proceso de validación de la Escala MACBEHT de Base, consultar: (Bana e Costa et al., 2010).
Corolario
MACBETH ha sido utilizado con éxito en variados procesos de análisis de decisión, en los sectores privado y público, para apoyar a personas de diferentes áreas profesionales (gerentes, expertos de diversas áreas, funcionarios públicos, militares, políticos, etc.) en la evaluación de diferentes tipos de opciones (proyectos, programas, estrategias, etc.). Los evaluadores que han participado en procesos MACBETH enfatizaron tres características de su agrado:
1. La verificación de la consistencia de los juicios de diferencia de atractivo cada vez que un juicio es emitido y la capacidad de proponer sugerencias para resolver las inconsistencias detectadas;
2. La posibilidad de asignar un juicio a varias categorías, permitiendo modelar situaciones de hesitación o desacuerdo, y
3. La interactividad permitida por M-MACBETH en la comparación gráfica de los intervalos entre las distintas puntuaciones, pudiéndose seleccionar con el ratón un punto de la escala gráfica y modificar la puntuación de la opción respectiva dentro del rango mostrado.
Referencias
Bana Consulting (2005). M-MACBETH Versión 1.1: Guía del usuario, Lisboa.
(http://m-macbeth.com/downloads.htm.)
Bana e Costa, CA, Lourenço, JC, Chagas, MP, Bana e Costa, JC (2008). Development of reusable bid evaluation models for the Portuguese Electric Transmission Company”, Decision Analysis, 5, 1 (22-42).
Bana e Costa CA, De Corte, JM, Vansnick, JC (2003) MACBETH. LSE OR Working Paper 03.56, London School of Economics, Londres.
Bana e Costa, CA, De Corte, JM, Vansnick, JC (2005). On the Mathematical Foundations of MACBETH. J Figueira, S Greco, M Ehrgott, eds., Multiple Criteria Decision Analysis: State of the Art Surveys, Springer, New York (409-442).
Bana e Costa, CA, De Corte, JM, Vansnick, JC (2010). MACBETH: Measuring Attractiveness by a Categorical Based Evaluation Technique. JJ Cochran, ed., Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science (EORMS), Wiley.
Phillips, LD, Bana e Costa, CA (2007). Transparent prioritisation, budgeting and resource allocation with multi-criteria decision analysis and decision conferencing. Annals of Operations Research, 154, 1, 51-68.
Sanchez-Lopez, R, Bana e Costa, CA (2009). El enfoque MACBETH para la incorporación de temas transversales en la evaluación de proyectos de desarrollo. In JC Leyva López, E Avilés Ochoa, J.J. Zepeda Rodriguez (eds.), Herramientas Operativas para el Análisis Multicriterio del Desarrollo Económico Local, Editorial Plaza y Valdés, México, D.F. (335-356).
Schein, E (1999). Process Consultation revisited: Building the Helping Relationship, Addison-Wesley, Reading, MA.
